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Circuítos para Operações Aritméticas

Soma e Subtração​

Meio Somador​

O meio somador (Half-Adder) é um circuito digital básico projetado para realizar a soma de dois números binários de 1 bit cada. Ele é fundamental para operações aritméticas simples e serve como base para circuitos mais complexos, como o somador completo.

Estrutura do Meio Somador​

  • Entradas:

    • A: Primeiro bit a ser somado.
    • B: Segundo bit a ser somado.

  • Saídas:

    • S (soma): Representa o resultado da soma dos bits A e B, sem considerar um "vai um" (carry). É calculada utilizando a operação lógica A ⊕ B (XOR), que resulta em:
      • S = 0, quando A e B são iguais.
      • S = 1, quando A e B são diferentes.
    • Cout (carry): Indica se há um "vai um", ou seja, se a soma ultrapassa 1. É calculado com A ⋅ B (AND), sendo:
      • Cout = 1, quando A = 1 e B = 1.
      • Cout = 0 nos outros casos.

Funcionamento​

O meio somador realiza a soma de dois bits de forma simples:

  • Se ambos os bits são 0, a soma (S) é 0 e não há carry (Cout).
  • Se apenas um dos bits é 1, a soma (S) é 1 e Cout continua 0.
  • Quando ambos os bits são 1, a soma (S) é 0 e o carry (Cout) é 1.

Tabela Verdade​

ABS (Soma)Cout (Carry)
0000
0110
1010
1101

Aplicações​

O meio somador é utilizado em circuitos aritméticos para somar bits individuais, como no cálculo de somas parciais em somadores de múltiplos bits. Para operações mais completas, como a soma de números binários maiores, é necessário o uso de somadores completos, que consideram o "carry in" de somas anteriores.

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Somador Completo​

O somador completo (Full-Adder) é um circuito digital capaz de somar dois números binários de 1 bit cada e considerar um "carry in" (Cin) vindo de uma soma anterior. Ele é fundamental para operações de soma em números binários maiores.

Estrutura do Somador Completo​

  • Entradas:

    • A: Primeiro bit a ser somado.
    • B: Segundo bit a ser somado.
    • Cin: Carry in (resultado de um "vai um" vindo da soma anterior).

  • Saídas:

    • S (soma): Representa o resultado da soma dos bits A, B e Cin. É calculada com a operação lógica:
      • S = A ⊕ B ⊕ Cin (XOR).
    • Cout (carry out): Indica se há um "vai um" gerado pela soma, calculado como:
      • Cout = (A ⋅ B) + (A ⋅ Cin) + (B ⋅ Cin).

Funcionamento​

O somador completo realiza a soma considerando três valores de entrada (A, B e Cin):

  • Se a soma dos três bits for menor que 2, Cout = 0.
  • Se a soma dos três bits for maior ou igual a 2, Cout = 1.
  • O bit menos significativo do resultado é representado por S.

Tabela Verdade​

ABCinS (Soma)Cout (Carry)
00000
00110
01010
01101
10010
10101
11001
11111

Aplicações​

O somador completo é utilizado em circuitos de somadores de múltiplos bits, como os somadores de 4, 8 ou mais bits. Para isso, os "carry out" de cada somador são conectados ao "carry in" do próximo bit. Ele é essencial para operações em processadores e sistemas digitais que demandam cálculos binários complexos.

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Meio Subtrator​

O meio subtrator (Half-Subtractor) é um circuito digital básico projetado para realizar a subtração de dois números binários de 1 bit. Ele é essencial para operações aritméticas simples e serve como base para circuitos subtratores mais complexos.

Estrutura do Meio Subtrator​

  • Entradas:

    • A: Minuendo (valor do qual será subtraído).
    • B: Subtraendo (valor a ser subtraído).

  • Saídas:

    • S (subtração): Representa o resultado da subtração dos bits A e B. É calculada com a operação lógica:
      • S = A ⊕ B (XOR).
    • Bout (borrow out): Indica se foi necessário "emprestar" um bit para realizar a subtração, calculado como:
      • Bout = ¬A ⋅ B (NOT de A AND B).

Funcionamento​

O meio subtrator realiza a subtração de dois bits binários:

  • Se A for maior ou igual a B, a subtração (S) reflete a diferença, e Bout é 0.
  • Se B for maior que A, o resultado (S) considera o empréstimo, e Bout será 1.

Tabela Verdade​

ABS (Subtração)Bout (Borrow)
0000
0111
1010
1100

Aplicações​

O meio subtrator é usado em circuitos que realizam subtrações simples entre dois bits individuais. No entanto, para subtrações envolvendo números binários maiores ou operações que exigem o controle de "borrow in", é necessário o uso de subtratores completos.

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Subtrator Completo​

O subtrator completo (Full-Subtractor) é um circuito digital que realiza a subtração de dois números binários de 1 bit, considerando um "borrow in" (Bin) proveniente de uma subtração anterior. Ele é essencial para operações de subtração em números binários maiores.

Estrutura do Subtrator Completo​

  • Entradas:

    • A: Minuendo (valor do qual será subtraído).
    • B: Subtraendo (valor a ser subtraído).
    • Bin: Borrow in (empréstimo de uma subtração anterior).

  • Saídas:

    • S (subtração): Representa o resultado da subtração de A, B e Bin. É calculada com a operação lógica:
      • S = A ⊕ B ⊕ Bin (XOR).
    • Bout (borrow out): Indica se foi necessário "emprestar" um bit para realizar a subtração, calculado como:
      • Bout = (¬A ⋅ B) + (¬A ⋅ Bin) + (B ⋅ Bin).

Funcionamento​

O subtrator completo realiza a subtração considerando as três entradas (A, B e Bin):

  • Se A for suficientemente grande para subtrair B e Bin, Bout = 0.
  • Caso contrário, Bout = 1, indicando que foi necessário "emprestar" um bit de uma subtração mais significativa.

Tabela Verdade​

ABBinS (Subtração)Bout (Borrow)
00000
00111
01011
01101
10010
10101
11000
11111

Aplicações​

O subtrator completo é usado em circuitos que realizam subtrações entre números binários de múltiplos bits. Para isso, os "borrow out" de cada subtrator são conectados ao "borrow in" do próximo bit. Ele é amplamente utilizado em sistemas digitais e processadores para operações aritméticas mais complexas.

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Multiplicação​

Multiplicador Simples Usando Ripple Carry

O ripple carry pode ser utilizado para implementar um multiplicador binário básico. Este circuito é composto por portas AND para gerar os produtos parciais e somadores completos (full adders) para realizar a soma desses produtos de forma sequencial, propagando os carries entre os estágios.

Estrutura do Circuito​

Entradas:​

  • Multiplicando: A = A3 A2 A1 A0 (4 bits)
  • Multiplicador: B = B3 B2 B1 B0 (4 bits)

Saída:​

  • Produto: P = P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0 (8 bits)

Etapas do Processo:​

  1. Geração de Produtos Parciais:
    • Cada bit do multiplicador (B) é multiplicado por cada bit do multiplicando (A) usando portas AND.
  2. Soma dos Produtos Parciais:
    • Os produtos parciais são somados utilizando somadores completos (full adders).
    • O ripple carry é utilizado para propagar o carry de um estágio para o próximo, resultando no produto final.

Implementação do Circuito​

Geração dos Produtos Parciais​

Os produtos parciais são calculados da seguinte forma:

  • P0 = A0 AND B0
  • P1 a P7: Calculados adicionando os produtos parciais com base na posição e no bit correspondente.

Circuito de Soma com Ripple Carry​

O ripple carry é usado para somar os produtos parciais. Cada estágio utiliza um full adder para combinar os bits de soma com o carry do estágio anterior. O atraso na propagação do carry ocorre sequencialmente ao longo dos estágios, até que o valor final seja calculado.

Diagrama do Full Adder​

Cada somador completo no ripple carry segue o seguinte esquema:

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Entradas e Saídas:​

  • Entradas:
    • A, B: Bits a serem somados.
    • Cin: Carry de entrada do estágio anterior.
  • Saídas:
    • Sum: Soma dos bits.
    • Cout: Carry de saída para o próximo estágio.

Diagrama do Multiplicador Completo​

O diagrama abaixo ilustra o funcionamento de um multiplicador completo usando ripple carry:

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Neste circuito:

  • As portas AND geram os produtos parciais.
  • Os somadores completos realizam a soma dos produtos parciais.
  • O ripple carry conecta os somadores para propagar o carry entre os estágios.

Exemplo Prático​

Multiplicação de A = 1010 e B = 1101​

  1. Produtos Parciais:

    • Primeira linha: 1010 × 1 = 1010
    • Segunda linha (shiftada): 1010 × 0 = 0000
    • Terceira linha (shiftada): 1010 × 1 = 1010
    • Quarta linha (shiftada): 1010 × 1 = 1010

  2. Soma dos Produtos Parciais:

    • A soma é realizada com os somadores em ripple carry.
    • Resultado final: 10011110 (158 em decimal).

Divisão​

Divisão binária: por comparações e subtrações​

A divisão binária realiza divisões entre números inteiros, obtendo quociente e resto entre dois números. Funciona comparando dois números e subtraindo o segundo do primeiro, caso este seja menor, de modo que contar quantas vezes isso foi possível, é o quociente, enquanto o valor em que não foi possível mais dividir, é o resto.

Estrutura do Circuito​

  • Entradas:

    • Dividendo: A = An An-1 ... A1 A0 (n bits)
    • Divisor: B = Bn Bn-1 ... B1 B0 (até n bits)

  • Saídas:

    • Quociente: Q = Qn Qn-1 ... Q1 Q0 (n bits)
    • Resto: R = Rn Rn-1 ... R1 R0 (n bits)

Funcionamento​

Etapas:​

  1. Desloque (usando circuito shift) os bits do divisor para a esquerda até o n - 1 bits, da direita para esquerda

  2. Compare (usando circuito comparador) esse número deslocado, com o dividendo anterior (atual resto), se o número for menor ou igual, subtraia (usando circuito subtrator) obtendo um novo dividendo e adicione o bit '1' à esquerda do quociente, senão adicione o bit '0' à esquerda do quociente

  3. Desloque o divisor 1 bit para a direita e repita o processo começando do passo 2, até chegar ao último bit do quociente

  4. Você tem o Quociente

  5. O dividendo que restou, é o próprio Resto

Exemplo Prático​

Divisão de 1011 (11 em decimal) por 0011 (3 em decimal):​

  • Passo 1: Desloca 0011, 3 ( = 4 - 1) bits à esquerda

  • Passo 2: Compara: 11000 > 1011 => bit 3 do quociente é 0 Desloca 11000, 1 bit à direita -> 1100

  • Passo 3: Compara: 1100 > 1011 => bit 2 do quociente é 0 Desloca 1100, 1 bit à direita -> 0110

  • Passo 4: Compara: 0110 < 1011 => bit 1 do quociente é 1 => subtrai: 1011 - 0110 = 0101 Desloca 0110, 1 bit à direita -> 0011

  • Passo 5: Compara: 0011 < 1011 => bit 0 do quociente é 1 (último bit do quociente) => subtrai: 0101 - 0011 = 0010 Não é mais possível deslocar => Fim

  • Resultado final:

    • Quociente = 0011 (3 em decimal)
    • Resto = 0010 (2 em decimal)

Aplicações​

O Divisor Binário é usado em todas as áreas da computação, responsável pela base de operações como: divisões inteiras, cálculos numéricos, operações entre números de ponto flutuante. Também possibilita sistemas de criptografia e conversores de diferentes bases numéricas.

Exercícios​

TODO

Grupo 17