O Mapa de Karnaugh

O que é um Mapa de Karnaugh?

O mapa de Karnaugh é o método de simplificação de tabelas-verdades mais humano. Além de minimizar o custo de um circuito combinacional com menos esforço mental, é mais rápido do que a simplificação por mintermo, maxtermo e DeMorgan; Consegue simplificar em apenas uma aplicação. O método consiste em plotar a tabela verdade em um outro modelo, padrão do mapa de Karnaugh, e circular os pontos mais relevantes, que podem ser tanto os aglomerados de um's ou zeros, dependendo da lógica escolhida pelo usuário. A equação das variáveis já sai com o menor custo possível dentro da lógica escolhida. Por ter menos etapas, reduz também a chance de erro, caso esteja sendo realizado sem a ajuda de softwares especializados em resolver equações pelas definições de DeMorgan.

Como fazer o mapa?

1. Entenda as variáveis Antes de começar, é importante entender as variáveis envolvidas em uma função lógica e saber que o número total de combinações possíveis é sempre 2 elevado à quantidade de variáveis. Por exemplo, para duas variáveis (A e B), você terá 2²=4 combinações. Para três variáveis (A, B e C), 2³=8, e assim por diante.

2. Monte a tabela-verdade Elabore a tabela-verdade para a função que deseja simplificar. Liste todas as combinações de entrada e a saída correspondentes.

Defina o número de variáveis e o tamanho do mapa.

• Para duas variáveis: uma grade 2×2 (4 células)
• Para três variáveis: uma grade 2×4 (8 células)
• Para quatro variáveis: uma grade 4×4 (16 células)
• Para cinco variáveis: duas grades 4x4, uma com o bit mais significativo igual a 0 e outra com ele igual a 1 (32 células)

3. Desenhe a grade do mapa

O K-map organiza as variáveis em linhas e colunas, seguindo a sequência do código Gray (onde apenas um bit muda de uma célula para a adjacente).

Exemplo para duas variáveis (A e B):

B \ A	0	1
0	0	0
1	0	1

Exemplo para 3 variáveis (A, B, C):

C \ AB	00	01	11	10
0	0	0	0	1
1	0	1	1	0

4. Preencha o mapa

Transfira os valores da tabela-verdade para o mapa:

• Cada célula do K-map corresponde a uma combinação única de entradas.
• Insira os valores da saída (0 ou 1) nas células correspondentes.

5. Agrupe os 1s

Procure formar grupos de 1, 2, 4, 8, etc. células adjacentes que contenham 1s:

• Os grupos devem ser quadriláteros.
• Eles podem envolver células na borda oposta do mapa (adjacência "circular").
• Cada célula contendo 1 deve estar em pelo menos um grupo.

6. Extraia a expressão simplificada

Para cada grupo:

• Identifique as variáveis fixas (que não mudam dentro do grupo).
• Escreva um termo lógico com as variáveis fixas.
• Combine os termos com OR (++) para formar a expressão simplificada.

Exercícios

1. Faça a expressão booleana do mapa de karnaugh a seguir.

CD \ AB	00	01	11	10
00	0	0	0	1
01	0	1	0	0
11	1	1	0	0
10	0	1	0	1

2. Crie o mapa de karnaugh da seguinte expressão booleana:

$A \overline B + \overline A B C$

3. Dada a tabela verade a seguir monte o mapa dea karnaugh que o representa e faça a expressão booleana.

A	B	C	D	Output
0	0	0	0	1
0	0	0	1	0
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	0	0
1	1	1	1	1

Gabarito

1.

$AB\overline{C}+B\overline{C}D+A\overline{C}D+\overline{B}C\overline{D}$

2.

C \ AB	00	01	11	10
0	0	0	0	1
1	0	1	0	1

3.

Mapa de karnaugh:

CD \ AB	00	01	11	10
00	1	0	0	1
01	0	1	1	0
11	0	0	1	1
10	1	1	0	1

Expressão booleana:

$ACD+\overline{A}C\overline{D}+B\overline{C}D+\overline{B}\overline{D}$

dica

Utilize do site https://www.dcode.fr/boolean-truth-table para criar expressões booleanas a partir de uma tabéla verdade.

dica

Utilize do site https://www.boolean-algebra.com/ para mais resoluções de mapa de karnaugh e de simplificações booleanas.

Autoria

• Ryan Diniz Pereira - 15590907
• Vinícius Souza Freitas - 15491959

Referencias

• FUNDAMENTALS OF DIGITAL LOGIC WITH VERILOG DESIGN, THIRD EDITION Digital Design and Computer Architecture