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Representação Numérica

O sistema numérico decimal apresenta 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e cada número é composto por uma combinação desses dígitos. Essa combinação representa o somatório de cada dígito multiplicado pela base, o número 10, elevado por um índice correspondente ao seu posicionamento. Por exemplo, o número 16810168_{10} significa:

1 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 8 \cdot 1 = 1⋅1021 \cdot 10^2 + 6⋅1016 \cdot 10^1 + 8⋅1008 \cdot 10^0. No entanto, esse sistema não é o único disponível para representações numéricas, visto que podemos substituir a base usada na formação de um número para outro número. Usando o número 2 como base, também conhecida como base binária, estaremos limitados a dois algarismos: (0, 1). Esse sistema é usado extensivamente na computação e eletrônica, já que seus 2 algarismos, também chamdos de bits, representam os dois estados de um sistema digital: alto e baixo. Note que o subscrito abaixo de um número representa sua base numérica.

Inteiros​

Qualquer inteiro na base decimal pode ser representado na base binária generalizando a mesma regra da base decimal para essa base. Por exemplo, podemos representar o número 6106_{10} na base 2 com o número 1102110_2, já que 1102110_2 = 1⋅221 \cdot 2^2 + 1⋅211 \cdot 2^1 + 0⋅200 \cdot 2^0 = 4 + 2 + 0 = 6106_{10}. O número 111121111_2 é outro exemplo de um número na base 2. Sua conversão para a base decimal é: 111121111_2 = 1⋅231 \cdot 2^3 + 1⋅221 \cdot 2^2 + 1⋅211 \cdot 2^1 + 1⋅201 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 151015_{10}. Podemos representar números negativos ou positivos usando o complemento de 2, em que a convenção diz que um número negativo possui seu dígito mais significativo(MSB) igual a 1 e corresponde ao complemento de 1 do número positivo somado ao número 1, em que complemento de 1 corresponde a troca de cada bit do número pelo seu inverso ou complemento, enquanto um número positivo possui MSB igual a 0 e mantém a representação convencional de números inteiros binários. Por exemplo, o número 010120101_2 representa +510+5_{10}, enquanto 101121011_2 representa −510-5_{10}.

Ponto fixo​

Números com parte fracionária também podem ser representados usando a base binária. Um dos métodos para realizar essa representção é a do ponto fixo. Nela, definimos um número binário B=bn−1bn−2…b1b0.b−1b−2…b−kB = b_{n-1}b_{n-2} \dots b_1b_0.b_{-1}b_{-2} \dots b_{-k}, em que bkb_{k} pode ser 0 ou 1, tal que qualquer bib_i à esquerda do ponto representa a parte inteira de um número, e cada bjb_j depois do ponto representa a parte fracionária do número. A formação da parte fracionária do número segue a mesma regra da parte decimal, com a diferença de que os expoentes associados às bases são negativos. A título de exemplo, 110.1012110.101_2 representa o número 6.625106.625_{10}, pois 110.101110.101 = 1⋅221 \cdot 2^2 + 1⋅211 \cdot 2^1 + 0⋅200 \cdot 2^0 + 1⋅2−11 \cdot 2^{-1} + 0⋅2−20 \cdot 2^{-2} + 1⋅2−31 \cdot 2^{-3} = 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0.125 = 6.625106.625_{10}.

Ponto flutuante​

A representação por ponto fixo tem suas limitações, já que o intervalo de números que podem ser representados é limitado pelo número de dígitos da parte inteira usado para representar os números. Por exemplo, um número do tipo b0.b−1b−2…b−7b_0.b_{-1}b_{-2} \dots b_{-7} está limitado ao intervalo [0,1.9921875]\left[ 0, 1.9921875 \right], mas, em aplicações reais, precisamos representar números que podem ser muito grandes ou muito pequenos. Para contornar isso, usa-se a representação por ponto flutuante, que pode delimitar o seu alcance livremente da seguinte forma: seja N um número de ponto flutuante no padrão IEEE 754, N = (−1)s⋅(F+1)⋅2E−127(-1)^s \cdot (F + 1) \cdot 2^{E - 127}, em que s corresponde ao bit que define o sinal em complemento de 2, F corresponde a parte fracionária de um número, e E corresponde ao número que ao ser subtraído 127, resulta no expoente. Um número que segue esse padrão possuiŕa 32 bits no total, sendo que, do total, 1 bit será usado para o sinal, s, 8 bits para E, e 23 bits para a parte fracionária, F.

Exercícios​

1)​

Converta os seguintes números em complemento de 2 para o sistema decimal:

a) 01010

b) 11101

c) 00001

2)​

Mostre a representação binária do número −0.7510-0.75_{10} segundo o padrão IEEE 754.

Resolução dos exercícios​

1)​

a) 01010

O MSB desse número é 0, logo, é um número positivo. Para representá-lo na base 10, basta calcular o somatório de cada dígito multiplicado por 2 elevado por um índice correspondente ao seu posicionamento. Nesse caso, 01010201010_2 = 1⋅231 \cdot 2^3 + 0⋅220 \cdot 2^2 + 1⋅211 \cdot 2^1 + 0⋅200 \cdot 2^0 = 5105_{10}.

b) 11101

O MSB desse número é 1, logo, é um número negativo. Para representá-lo na base 10, precisamos calcular seu correspondente em complemento de 2 e convertê-lo para base com o sinal negativo. Assim, o complemento de 2 de 11101211101_2 é 00011200011_2, que é 3103_{10}, mas como esse número é negativo, 11101211101_2 = −310-3_{10}

c) 00001

Esse é um número positivo, logo, seu correspondente na base 10 é igual a 0⋅230 \cdot 2^3 + 0⋅220 \cdot 2^2 + 0⋅210 \cdot 2^1 + 1⋅201 \cdot 2^0 = 1101_{10}.

2)​

−0.7510-0.75_{10} pode ser escrito como −0.112-0.11_2, que em notação científica é igual a −1.1⋅2−1-1.1 \cdot 2^{-1}. Logo, F = 1000000000000000000000010000000000000000000000, E = 12610126_{10} = 01111110201111110_2 e s = 1. Assim, sua representação por bits seria 10111111010000000000000000000000. Na base 10, -0.75 é calculado como (−1)1⋅(0.12+1)⋅2011111102−011111112(-1)^1 \cdot (0.1_2 + 1) \cdot 2^{01111110_2- 01111111_2} = (−1)⋅(1.510)⋅2−1(-1) \cdot (1.5_{10}) \cdot 2^{-1} = −0.7510-0.75{10}. Isso prova que essa representação por bits representa −0.7510-0.75_{10}.

Bibliografia

  • Livro - Fundamentals of Digital Logic with Verilog Design, THIRD EDITION, Stephen Brown and Zvonko Vranesic
  • Livro - Computer Organization and Design, FIFTH EDITION, David A. Patterson, John LeRoy Hennessy

Autores​

  • Artur Oliveira Arraes (14745532)
  • Fernando Lucas Vieira Souza (12703069)